Quando a música se junta à matemática

Helena Albuquerque, professora da Universidade de Coimbra, demonstrou no passado dia 23, em mais uma “Tarde de Matemática”, que ao longo dos tempos esta ciência foi essencial para o desenvolvimento das teorias musicais.

“Música e Matemática: de Pitágoras aos nossos dias” foi o tema de mais uma Tarde de Matemática realizada no Conservatório Regional de Música da Covilhã, que contou com a presença de Helena Albuquerque, professora da Faculdade de Matemática da Universidade de Coimbra.
Através de quatro épocas da história, desde Pitágoras a Boécio, e de Bach até aos nossos dias, a “música e a matemática mantêm uma ligação intrínseca”, tendo a matemática um papel essencial para o desenvolvimento das teorias musicais.
Helena Albuquerque iniciou a sua exposição com a interpretação racional dos intervalos musicais, descoberta por Pitágoras que, conforme diz a lenda, depois de observar uns trabalhadores enquanto batiam os seus martelos, e ao perceber a diferença do som que era emitido, foi descobrindo que a altura do som dependia da cabeça de cada martelo. Isto é, «os martelos produziam diferentes sons porque tinham cabeças diferentes. Quanto maior a altura do som, menor era a cabeça do martelo - quanto maior fosse a cabeça do martelo mais grave se tornaria o som e vice-versa». A partir daí Pitágoras atribui um número racional a cada intervalo musical: o intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2/1, uma quinta em 3/2, uma quarta em 4/3, e um tom em 9/8. Estes intervalos formam um conjunto de números racionais, ou seja, “estuda-se música por propriedades aritméticas” afirma a conferencista.
Pitágoras fez uma experiência com um monocórdio, uma caixa de madeira com uma corda feita de tripa de gato. Ao esticar essa corda e tocar nela produz-se um determinado tom; depois de a dividir ao meio e a tocar novamente, ouve-se o mesmo tom, mas uma oitava acima; e dividida assim sucessivamente, continua a emitir uma oitava acima. Pitágoras «dá conta de um exercício de proporcionalidade inversa, uma relação entre números racionais. Aqui ele descobre que uma oitava estava na razão de dois para um, e com simples fracções conseguiu elaborar a escala musical que é usada até hoje», explica Helena Albuquerque.
Boécio, com o seu Tratado de Música, era o nome de referência que se seguia. “Ele não vem trazer nada de novo, ele é o compilador de todo o trabalho que estava para trás”, sublinha. Num simples comentário ao Tratado de Música, Helena Albuquerque destaca o facto de Boécio não dar importância ao sentido auditivo propriamente dito, mas sim à razão – “a razão prevalece sobre os sentidos; os intervalos são fundamentalmente racionais”.
A frase chave de Boécius para a abordagem do ponto seguinte é a de que “qualquer coisa que não é um tom é chamado semi”, surgindo assim a designação dos semi-tons. Por cálculos matemáticos, Boécio descobre que há um semi-tom maior e um semi-tom menor, o que o leva a concluir mais tarde que o tom não pode ser dividido em dois semi-tons iguais. E com esta formação é dado a conhecer o sistema de afinação justa, que perdurou até à época de Bach.
O sistema actual é o sistema de afinação temperada, que comparado com o sistema anterior “soa melhor ao ouvido” enquanto que o outro dá a “sensação de uma ligeira desafinação”, devido a essa diferença na formação dos semi-tons.
Bach começa por introduzir nas suas composições musicais, o grupo Z12 (0,1,2,…12), mais conhecido na área da matemática que, em termos musicais indica que à nota Dó atribui o número 0, ao Dó# o número 2, ao Ré o número 3, e assim sucessivamente, até que termina novamente na nota Dó (uma oitava acima) com o número 12.
Na formação de um dodecágono (polígono com doze lados), Helena Albuquerque demonstra como isso funciona, em que cada nota ocupa o lugar de um vértice (que são doze como o número de notas referido atrás) desse mesmo polígono, e numa linha imaginária que atravessa essa figura geométrica, passando pelo centro, ao rodar, por exemplo de Dó para Dó# que fica no vértice seguinte, damos conta que estamos a transpor a música meio tom acima da original. Essa rotação do polígono, matematicamente chamando, refere-se à transposição, musicalmente falando.
Segundo Helena Albuquerque “o que é importante em matemática é importante em música e vice-versa”. A “matemática ajuda a estudar os sistemas musicais”, e exemplificando com obras clássicas, como as de Bach, até às que ouvimos hoje nas discotecas, falando de Ashlee Simpson como exemplo, deparamo-nos com toda esta ligação, ou seja, com uma ou duas transposições e inversões de um determinado tom constrói-se uma música.
Esta edição das Tardes de Matemática foi uma iniciativa da Sociedade Portuguesa da Matemática, Delegação Centro, com o apoio do Conservatório Regional de Música da Covilhã